EJERCICIO 8

Un contratista tiene que acarrear grava a tres construcciones. Puede comprar hasta 18 toneladas en un foso de grava al norte de  la ciudad y 14 toneladas en uno al sur. Necesita 10, 5 y 10 toneladas en las respectivas construcciones 1, 2 y 3. El precio de compra por tonelada en cada foso y los costos de acarreo son los siguientes:

	COSTO/TONELADA ACARREADA			PRECIO/TON
FOSO	1	2	3
NORTE	$ 30	$ 60	$ 50	$ 100
SUR	$ 60	$ 30	$ 40	$ 120

La contratista desea determinar cuánto acarrear de cada foso a cada construcción de manera que se minimice el costo total de compra y acarreo de la grava.


 A) Formule el modelo de programación lineal. Use el método de la M para construir la tabla simplex inicial lista para aplicar el método simplex (pero no lo resuelva).

		COSTO/TONELADA ACARREADA						PRECIO/TON.
FOSO		1		2		3
NORTE		$ 30+$100		$ 60+$100		$ 50+$100		$ 100
SUR		$ 60+$120		$ 30+$120		$ 40+$120		$ 120
	COSTO/TONELADA ACARREADA
FOSO	1		2		3
NORTE	$ 130		$ 160		$ 150
SUR	$ 180		$ 150		$ 160

	COSTO/TONELADA ACARREADA			TONELADAS OFERTA
FOSO	1	2	3
NORTE	$ 130	$ 160	$ 150	18
SUR	$ 180	$ 150	$ 160	14
DEMANDA	10	5	10

Introducimos variables de holgura y se deben introducir variables artificiales (M’s)

Como se desea minimizar z para facilitar las operaciones cambiamos a maximizar –z; entonces:

Luego la tabla resulta:

IT0	ECU	VB	Z	X11	X12	X13	X21	X22	X23	X7	X8	X9	X10	X11	LD
	0	z	-1	130	160	150	180	150	160	0	0	M	M	M	0
	1	x7	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	18
	2	x8	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	14
	3	x9	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	10
	4	x10	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	5
	5	x11	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	10

Aplicamos Gauss Jordan:

Operamos:

Y obtenemos:

IT0	ECU	VB	Z	x11	x12	x13	x21	x22	x23	x7	x8	x9	x10	x11	LD
	0	z	-1	130-M	160-M	150-M	180-M	150-M	160-M	0	0	0	0	0	-25M
	1	x7	0	1	1	1	0	0	0	1	0	0	0	0	18
	2	x8	0	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	14
	3	x9	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	0	10
	4	x10	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	0	5
	5	x11	0	0	0	1	0	0	1	0	0	0	0	1	10

B)  Ahora formule este problema como uno de transporte construyendo la tabla de parámetros adecuada. Compare el tamaño de esta tabla (y de la tabla simplex de transporte correspondiente) usada por el método simplex de transporte, con el tamaño de la tabla simplex del inciso a) necesaria para aplicar el método simplex.

Aquí se debe adicionar una columna ficticia ya que hay la oferta y la demanda no son iguales, por lo tanto se debe hacer un balanceo de las cifras, para ello la fila ficticia

		DESTINO				TONELADAS OFERTA
FOSO		1	2	3	4 (F)
NORTE	1	$ 130	$ 160	$ 150	$ 0	18
SUR	2	$ 180	$ 150	$ 160	$ 0	14
DEMANDA		10	5	10	7

La tabla obtenida es más pequeña y menos compleja que la tabla simplex de transporte.

C) El contratista ha observado que puede abastecer por completo las construcciones 1 y 2 del foso norte y la construcción 3 del foso sur. Utilice la prueba de optimalizada (pero no realice iteraciones) del método simplex de transporte para verificar si la solución BF correspondiente es optima.

(0)		DESTINO												TONELADAS OFERTA
FOSO		1			2			3			4 (F)
Norte	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18
Sur	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14
DEMANDA		10			5			10			7

Asignamos las cantidades demandas en las construcciones 1 y 2 desde el foso norte y a la construcción 3 desde el sur

(0)		DESTINO												TONELADAS OFERTA
FOSO		1			2			3			4 (F)
Norte	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18
			10			5
Sur	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14
									10
DEMANDA		10			5			10			7

En la columna ficticia asignamos las cantidades sobrantes

(0)		DESTINO												TONELADAS OFERTA	U(i)
FOSO		1			2			3			4 (F)
Norte	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	0
			10			5						3
Sur	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	0
									10			4
DEMANDA		10			5			10			7

Creamos fila Vj con los coeficientes de la fila con la mayor asignación, para este caso la fila 1, la cual se le han asignado 15 unidades, la fila dos solo se le ha asignado 10 unidades.

(0)		DESTINO												TONELADAS OFERTA	U(i)
FOSO		1			2			3			4 (F)
Norte	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	0
			10			5						3
Sur	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	0
									10			4
DEMANDA		10			5			10			7
V(J)		130			160			160			0

Para completar la tabla realizamos:

(0)		DESTINO												TONELADAS OFERTA	U(i)
FOSO		1			2			3			4 (F)
Norte	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	0
			10			5			-10			3
Sur	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	0
			50			-10			10			4
DEMANDA		10			5			10			7
V(J)		130			160			160			0

Como tenemos coeficientes negativos en la tabla, entonces la solución dada por la contratista no es la óptima.


D) 

Con la regla de la esquina noroeste, use la rutina interactiva del método simplex de transporte para resolver el problema formulado en el inciso b.

(0)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18
			10
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14
DEMANDA		10			5			10			7
Vj

Partimos de x₁₁ donde se asignan 10, como sobran 8, estos deben asignarse a las celda siguiente, o sea, x₁₂; los cuales son limitas a 5 por la demanda de la columna y se debe seguir con los 3 restantes a las celda siguiente, repitiendo los pasos sistemáticamente:

(0)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	0
			10			5			3
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14
									7			7
DEMANDA		10			5			10			7
Vj		130			160			150

Resolvemos los Ui Y los Vj y los ubicamos en la tabla:

(0)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	0
			10			5			3
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	10
									7			7
DEMANDA		10			5			10			7
Vj		130			160			150			-10

Resolvemos los Cij y los ubicamos en la tabla:

(0)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	0
			10			5			3			10
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	10
			40			-20			7			7
DEMANDA		10			5			10			7
Vj		130			160			150			-10

Como resultan coeficientes negativos, debemos volver a iterar, comenzando el más negativo que es el  -20 y está en x₂₂, y el menor positivo de las variables básicas es 5, y pasa a la posición x₂₂, restablecemos valores en Vj con los coeficientes de la fila donde está el mayor negativo.

Hallamos  Ui:

(1)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	-10
			10						3			10
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	0
			40			5			7			7
DEMANDA		10			5			10			7
Vj		140			150			160

Resolvemos los Cij y los ubicamos en la tabla:

(1)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	-10
			10			20			3			10
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	0
			40			5			7			7
DEMANDA		10			5			10			7
Vj		140			150			160

Reajustamos las comunas y las filas:

(1)		DESTINO												OFERTA	Ui
FOSO		1			2			3			4 (F)
NORTE	1	$ 130			$ 160			$ 150			$ 0			18	-10
			10			20			8			10
SUR	2	$ 180			$ 150			$ 160			$ 0			14	0
			40			5			2			7
DEMANDA		10			5			10			7
Vj		140			150			160

Luego hacemos el producto de cada una de las casillas con asignación para obtener: