EJERCICIOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL

3.1-10 Weenies and Buns es una planta procesadora de alimentos que fabrica hotdogs y pan para hotdogs. Muelen su propia harina para el pan a una tasa máxima de 200 libras por semana. Cada pan requiere 0.1 libras. Tiene un contrato con Pigland Inc, que especifica la entrega de 800 libras de producto de puerco cada lunes. Cada hotdog requiere 0.25 libras de producto de puerco. Se cuenta con suficiente cantidad del resto de los ingredientes de ambos productos. Por último, la mano de obra consiste en 5 empleados de tiempo completo (40 horas por semana). Cada hotdog requiere 3 minutos de mano de obra y cada pan requiere 2 minutos de mano de obra. Cada hotdog proporciona una ganancia de $0.20 y cada pan de $0.10. Weenies and Buns desea saber cuántos hotdogs y cuantos panes deben producir cada semana para lograr la ganancia más alta posible.

a) Formule un modelo de programación lineal.
Analizando cada uno de los datos podemos construir la siguiente tabla:

Costos	Hotdogs	Pan	Unidades disponibles
Harina	0	0.1	200
Puerco	0.25	0	800
Mano de obra	3	2	200h = 12000min
Ganancia	0.2	0.1

Ahora podemos construir el modelo de programación lineal, así:

Hotdogs: X₁                       Pan: X₂

Función objetivo:            Z = 0.2X₁ + 0.1X₂

Sujeto a:                             0.1X₂ ≤ 200

                                         0.25X₁ ≤ 800

                                    3 X₁ + 2X₂ ≤ 12000

                                         X₁ ≥ 0  y  X₂ ≥ 0

b)Use el método grafico para resolver el modelo.

Entonces hallamos los puntos de cruce en las X:

 0.1X₂ ≤ 200 → X₂ ≤ 2000

0.25X₁ ≤ 800 → X₁ ≤ 3200

3 X₁ + 2X₂ ≤ 12000 → X₁ = 0 → X₂ ≤ 12000/2 = 6000

                                → X₂ = 0 → X₁ ≤ 12000/3 = 4000

Luego por reducción:

(¼ X₁ = 800)*-12 = -3 X₁ = -9600

(3 X₁ + 2X₂ = 12000) –(3 X₁ = -9600)  → X₂ = 1200

Hallamos X₁ reemplazando X₂ en la tercera ecuación:

3 X₁ + 2*1200 = 12000  → X₂ = (12000 – 2400)/2 = 3200

Ahora tenemos reemplazamos en la función objetivo:

0.2*(3200) + 0.1*(1200) = 760

La línea que representa la función objetivo es:

X₁ = 0 → X₂ = 7600

X₂ = 0 → X₁ = 3800

Finalmente podemos decir que se requieren 3200 hotdogs y 1200 panes para ganar un máximo de $760, que sería la ganancia más alta posible.

3.6-4 Fred Jonasson administra la granja de su familia. Para complementar varios alimentos que se cultivan en la granja, Fred también cría cerdos para venta y desea determinar las cantidades de los diferentes tipos de alimentos disponibles (maíz, grasas y alfalfa) que debe dar a cada cerdo. Como los cerdos se comerán cualquier mezcal de estos tipos de alimento, el objetivo es determinar que mezcla cumple ciertos requisitos nutritivos a un costo mínimo. En la siguiente tabla se dan las unidades de cada tipo de ingrediente nutritivo básico contenido en 1 kilogramo de cada tipo de alimento, junto con los requisitos de nutrición diarios y los costos de los alimentos:

Ingrediente nutritivo	Kilogramo de maíz	Kilogramo de grasas	Kilogramo de alfalfa	Requisito mínimo diario
Carbohidratos	90	20	40	200
Proteínas	30	80	60	180
Vitaminas	10	20	60	150
Costo ($)	84	72	60

a) Formule el modelo de programación lineal.
Ahora podemos construir el modelo de programación lineal, así:
Función objetivo: Minimizar Z = 84X₁ + 72X₂ + 60X₃
Sujeto a:           90X₁ + 20X₂ + 40X₃ ≥ 200
                        30X₁ + 80X₂ +60X₃ ≥ 180
                        10X₁ + 20X₂ + 60X₃ ≥ 150

 X₁ ᶺ X₂ ᶺ X₃ ≥ 0

Para ser resuelto por el método simplex, se debe pasar a un caso de maximización, así:

Maximizar  -Z = - 84X₁ - 72X₂ - 60X₃ - MX₅ - MX₇ - MX₉

Sujeto a:              90X₁ + 20X₂ + 40X₃ - X₄ + X₅ = 200

                       30X₁ + 80X₂ +60X₃ - X₆ + X₇ = 180

                       10X₁ + 20X₂ + 60X₃ - X₈ + X₉ = 150

X₁ ᶺ X₂ ᶺ X₃ ≥ 0

Los grados de libertad = # de variables - # de ecuaciones

                                               = 9 -3 = 6

Ahora hacemos la tabla con los coeficientes de las variables:

V.b	Z	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	L.D
Z	-1	84	72	60	0	M	0	M	0	M	0
X5	0	90	20	40	-1	1	0	0	0	0	200
X7	0	30	80	60	0	0	-1	1	0	0	180
X9	0	10	20	60	0	0	0	0	-1	1	150

Resolviendo con excel solver:

	Kilogramo de			requerimiento mín diario		Total
Ingrediente Nutritivo	Maíz	Grasas	Alfalfa
Carbohidratos	90	20	40	200		200
Proteínas	30	80	60	180		180
Vitaminas	10	20	60	150		157,14
costo unidad	84	72	60
solución	1,14285714	0	2,42857143			241,7142857